正七角形

たぶん学生時代か、そのあとだろう。６８才になって、初めての出会いがあった。

大学で数学を専攻していた関係で、正七角形の作図はできるのだろうか。そういう疑問が自然に湧いてくる。ちょうど同じ時期に、４年生の先輩が、正１７角形の作図に取り組んでいた。数学的に正１７角形が作図できることを証明して（卒業研究？）、実際に描いてみるという課題であったように思われる。

小学生くらいだと、正３角形・正方形・正６角形・正８角形くらいはやすやすと描けると思う。少し勉強すると、正５角形が描けるようになる。最初に躓くのが正７角形だ。

数学的な理屈では、ｎ次方程式　X^ｎ＝1　のｎ個の解を複素平面上（注：1）にプロットして結ぶと、正ｎ角形ができる、定規とコンパスで作図するとすると、その解が有理数（分数・整数を含む）と平方数で表されることが十分条件となる。

例えば、X³＝1　の解は　X=1、（-1+√3i)/2, 　(-1-√3i）/2　（i は虚数単位）だから

簡単のため　XY-平面で表現すれば、（1,0）（-1/2、√3/2）（-1/2、-√3/2）の３点を結べば、正３角形になる。

では、X⁷＝1　の解は求められるのか、が問題となるが、一般的に解の公式はなく、
？？？？が続くばかり。

論文には   N=2^（2^(n-1)）+1　（n=1,2,3,4,5,…）（下記：注：2参照）
のとき正Ｎ角形は作図可能のいうことが知られている。

ｎ＝1　のとき　Ｎ＝3
ｎ＝2　のとき　Ｎ＝5
ｎ＝3　のとき　Ｎ＝17
ｎ＝4　のとき　Ｎ＝257・・・（こうなると、作図どころではない）
・・・・・・・・・・・・

である。

（注：１）直交座標系で、横軸に実数、縦軸に虚数を目盛ることにより、複素数を”視覚化”した座標系。複素数の四則演算とその結果が幾何学的に表現されるので、・・・おもしろい。
（注：２）”＾”　の記号は、　２＾３＝２×２×２＝８　２を３回掛ける記号です

2019.12.1.　記

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